Математическая регата 10 классов 15.04.2000

Задания | Результаты | План мероприятий Турнира Архимеда на 1999/2000 уч. г.

Задания


Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. Может ли график функции y=(ax2+bx+c)/(kx+l) иметь следующий вид (см. рис.)?

1.2. В равнобокую трапецию вписан круг радиуса r. Найдите длину боковой стороны трапеции, если угол между диагональю и большим основанием равен a.

1.3. Квадрат 4*4 разрезают по границам клеток на четыре одинаковых многоугольника. Сколькими способами это можно сделать (способы считаются различными, если при разрезании получаются неравные многоугольники)?


Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. Может ли сумма возрастающей и убывающей функций быть периодической функцией, отличной от постоянной?

2.2. Дан квадрат ABCD. На сторонах BC и CD выбраны точки K и N, так что BK = KC и CN:ND = 2:1. Отрезки AK и BN пересекаются в точке T. Площадь четырехугольника KCNT равна 13. Найдите площадь треугольника BTA.

2.3. Решите уравнение: 5cos5x + 3sin3x = 5.


Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

3.1. Решите систему уравнений:
{x/y = y/z = z/u = u/s = s/t;
x = 8u;
x + y + z + u + s + t = 15+(3/4)

3.2. Существует ли тетраэдр, периметр каждой грани которого больше суммы остальных трех ребер?

3.3. Какое наибольшее количество натуральных чисел, меньших пятидесяти, надо взять, чтобы любые два из них были взаимно простыми?


Четвертый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

4.1. Решите уравнение:
1 + x2 + x4 + ... + x3998 + x4000 = 2001x2000.

4.2. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMP и BCDK. Докажите, что продолжение медианы BE треугольника ABC является высотой треугольника BMK.

4.3. Решите уравнение в натуральных числах:
12x2 - 4x - 2xy + 3y - 9 = 0.


Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).

5.1. Существует ли натуральное n, такое что:
sin(21/2) + sin(2*21/2) + ... + sin(n*21/2) > 2000 ?

5.2. Существует ли такой пятиугольник, отличный от правильного, что точки попарного пересечения его диагоналей являются вершинами пятиугольника, который ему подобен?

5.3. Решите уравнение:
(x2 + [x] + 1)2 + [x2 + [x] + 1] = x - 1.


Результаты

Команда
школы
IIIIIIIVVСумма
баллов
Место
123123123123123
365201775001100386
46473077610010955II
7 0360005000001001516-17
109 6062000043000002112
152 6160200010001001714-15
218 6050110010021092611
548 006011772000106319
1189А00370177718610654III
1189Б6040000700000001714-15
1511А1067012040001062810
1511Б506701173001150377-8
1514А00670017580110642V
1514Б006700773104020377-8
1534 66570047500810049IV
1543 02673707708010957I
1560А0060010741000001913
1560Б0140000701011001516-17