XIII УРАЛЬСКИЙ (VII КИРОВСКИЙ) ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 04-10.03.99

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 05.03.1999.


Скачать zip-архив этой страницы (olimp13.zip)

Скачать zip-архив файла в формате WinWord olimp13.doc (olimp13w.zip) с этой же информацией


ЗАДАНИЯ ДЛЯ 8 КЛАССА

1. За круглым столом сидят 100 человек. Каждый из них либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Каждый сделал такое заявление: "Мой правый сосед и двое сидящих сразу за ним - лжецы". Сколько за столом лжецов?

2. Назовем натуральное число "куском", если оно получается выписыванием подряд чисел от 1 до какого-нибудь натурального n>1 (например, 123 или 123456789101112). Докажите, что произведение двух кусков - не кусок.

3. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D и E соответственно такие, что AD/DB=BE/EC =2 и /ACB=2/DEB. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

4. Имеются две палочки. Разрешается прикладывать их друг к другу и делать отметки на любой из них. Как, используя только эти две операции, узнать, что больше: 3/4 длины первой палочки или 2/3 длины второй палочки?

5. Быстрым конем называется фигура, один ход которой выглядит как два хода обыкновенного коня, сделанные подряд. Какое наименьшее число быстрых коней можно расположить на доске 7*7 так, чтобы они били все ее клетки?

6. Даны 9 различных чисел, которыми можно заполнить таблицу 3*3 так, что в каждом горизонтальном и каждом вертикальном ряду сумма была одна и та же. Сколько всего таких таблиц можно получить, используя эти же числа?

ЗАДАНИЯ ДЛЯ 7 КЛАССА

1. За круглым столом сидят 100 человек. Каждый из них либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Каждый сделал такое заявление: "Мой правый сосед и двое сидящих сразу за ним - лжецы". Сколько за столом лжецов?

2. Из одной точки проведены N лучей. Они разбивают плоскость на N углов. Если из этих углов взять любые 100, идущие подряд, то сумма их величин будет больше 18o, а если любые 111, идущие подряд, то сумма их величин будет меньше 20o. Чему может равняться число N? Перечислите все возможности и объясните, почему других возможностей нет.

3. АВС - равнобедренный прямоугольный треугольник (АВ=АС). На стороне ВС выбрана точка K. Из нее опущены перпендикуляры KL и KM на стороны АВ и АС соответственно. При каком положении точки K периметр треугольника KLM будет наименьшим? Ответ должен быть обоснован.

4. Имеются две палочки. Разрешается прикладывать их друг к другу и делать отметки на любой из них. Как, используя только эти две операции, узнать, что больше: 3/4 длины первой палочки или 2/3 длины второй палочки?

5. Быстрым конем называется фигура, один ход которой выглядит как два хода обыкновенного коня, сделанные подряд. Какое наименьшее число быстрых коней нужно расположить на доске 7*7, чтобы они били все ее клетки?

ЗАДАНИЯ ДЛЯ 6 КЛАССА

1. В Украине сливочное масло стоит 12 гривней за кг, а в США - 1,89 доллара за полфунта. Сколько в фунте граммов, если в 1 долларе 3,6 гривней, а масло в Украине стоит в 2,5 раза дешевле, чем в США?

2. За круглым столом сидят 100 человек. Каждый из них либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Каждый сделал такое заявление: "Мой правый сосед и двое сидящих сразу за ним - лжецы". Сколько за столом лжецов?

3. Имеются две палочки. Разрешается прикладывать их друг к другу и делать отметки на любой из них. Как, используя только эти две операции, узнать, что больше: длина первой палочки или 2/3 длины второй палочки?

4. По кругу расставлены несколько чисел. Сумма всех чисел равна 360. Сумма любых 100 чисел, идущих подряд, больше 18, а сумма любых 111 чисел, идущих подряд, меньше 20. Сколько может быть чисел? Перечислите все возможности и объясните, почему других возможностей нет.

5. Быстрым конем называется фигура, один ход которой выглядит как два хода обыкновенного коня, сделанные подряд. Какое наименьшее число быстрых коней нужно расположить на доске 8*8, чтобы они били все ее клетки?

ЗАДАНИЯ ДЛЯ СЕНЬОРОВ

1. Докажите, что количество способов, которыми данное натуральное число можно представить в виде суммы нескольких (больше, чем одного) последовательных целых чисел, нечетно.

2. В Циссильвании 1999 жителей. Трое из них - вампиры, но мало кому известно, кто именно. Заезжий писатель м-р Стокер попросил каждого жителя назвать двух человек, которые, по его мнению, являются вампирами. Каждый вампир назвал двух других вампиров, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что, пользуясь этими данными, м-р Стокер может выбрать себе проводника, не являющегося вампиром.

3. Найдите все такие тройки натуральных чисел (m,n,k), что 3m5n+1=4k.

4. В треугольнике АВС взята точка D таким образом, что /BDC=2/BAC. На отрезке CD выбрана такая точка Е, что BD+DE=AE. Докажите, что /АЕC = 2/ABC.

5. Квадратный ящик размером 8*8 разбит на квадратные ячейки со стороной 1, в каждой из которых лежит по шару. Внешне все шары одинаковы, но ровно один из них радиоактивен. Имеется детектор: если поднести его к ячейке, то он покажет, находится ли радиоактивный шар в "кресте", образованном двумя рядами, пересекающимися в этой ячейке. За какое наименьшее число таких проверок можно наверняка найти этот шар?

6. 999 литровых сосудов доверху заполнены раствором кислоты. Концентрация раствора в первом сосуде равна 0,1%, во втором - 0,2%, ... в 999-ом - 99,9%. Кроме того имеется неограниченное количество пустых сосудов емкостью в любое целое число литров. Разрешается переливать раствор из одного сосуда в другой до опустошения первого или наполнения второго. Удастся ли таким образом получить некоторое количество раствора концентрации (49+(199/1999))% ?

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЮНИОРОВ

1. Фирма "Рога и копыта" изготавливает деревянные кубики со стороной 20 см. Материалы для изготовления одного кубика стоит 40 копеек (10 копеек - дерево, 30 копеек - лак для покрытия всей поверхности). Во сколько раз дороже обойдутся материалы для производства одного кубика со стороной 40 см?

2. Докажите, что количество способов, которыми данное натуральное число можно представить в виде суммы нескольких (больше, чем одного) последовательных целых чисел, нечетно.

3. У пяти семиклассников вместе - 60 рублей. У Алеши денег не больше, чем у Бори, у Бори - не больше, чем у Васи, у Васи - не больше, чем у Гриши, у Гриши не больше, чем у Димы. Сколько, самое большее, может быть денег у Васи и Гриши вместе?

4. Верно ли, что если натуральное число имеет 15 различных двузначных делителей, то у него есть трехзначный делитель.?

5. Внутри равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) взята точка D таким образом, что /BDC=2/BAC. На отрезке CD выбрана такая точка Е, что /АЕC=2/ABC. Докажите, что BD+DE=AE.

6. Квадратный ящик размером 8*8 разбит на квадратные ячейки со стороной 1, в каждой из которых лежит по шару. Внешне все шары одинаковы, но ровно один из них радиоактивен. Имеется детектор: если поднести его к ячейке, то он покажет, находится ли радиоактивный шар в "кресте", образованном двумя рядами, пересекающимися в этой ячейке. За какое наименьшее число таких проверок можно наверняка найти этот шар?