Условия задач экономико-математической олимпиады 1998/1999 учебного года (Москва)

9 класс

1. В Лимонии все земельные участки прямоугольные, а налог равен сумме квадратов длин сторон участка. За один из участков хозяин заплатил 12 евриков налога.

Какова максимально возможная площадь этого участка?

2. 64 преподавателя Экономико-Математической Школы при подготовке Олимпиады придумали по одной задаче каждый. В субботу должно было состояться обсуждение задач. Никто из преподавателей в пятницу из дома не выходил, звонил только другим преподавателям, а при звонке оба обменивались теми задачками, которые были известны каждому на момент звонка. Звонки совершались только в пятницу.

Какое минимальное количество звонков в пятницу надо было совершить для того, чтобы каждый преподаватель знал к субботе все 64 задачки?

3. Когда Корнелий принес в некий банк АКБ "Раздоры" деньги в размере 1000 монет 31 декабря 1990 года, ему рассказали, что на его счёт будут начислять 10% ежемесячно. Но при этом проценты Корнелий может снимать только раз в квартал, в последнее число 3-его месяца, а весь вклад можно будет забрать только через год. Проценты начисляются в последнее число каждого месяца исходя из суммы, находящейся на счету на первое число данного месяца. При возникновении дробных долей монет сумма округляется по правилам математики. В первую выплату процентов Корнелий деньги снял, следующий платеж пропустил, т.к. был на каникулах. В третий раз Корнелий снял деньги так, что на счете осталось 1500 монет. В конце года он обнулил свой счет.

Сколько денег получил Корнелий в течение 1991 года с учетом всех выплат?

4. Иногда на мелкооптовых рынках можно встретить объявление: "Продукты оптом и в розницу по одной цене".

На каких покупателей оно ориентировано? Выгодно ли продавцам использовать такой принцип торговли?

5. Как известно, есть три основных вида карт, дающих право на получение скидки:

• Клубные - карты, которые покупаются, потом дают право на скидку при покупке товаров или услуг;
• Дисконтные - карты, которые выдаются при покупке на крупную сумму;
• Карты, которые раздаются бесплатно.

Что выгодно или невыгодно пользователю и компании, которая выдает данные карточки? И какова цель всех этих карт?

10 класс

1. 64 преподавателя Экономико-Математической Школы при подготовке Олимпиады придумали по одной задаче каждый. В субботу должно было состояться обсуждение задач. Никто из преподавателей в пятницу из дома не выходил, звонил только другим преподавателям, а при звонке оба обменивались теми задачками, которые были известны каждому на момент звонка. Звонки совершались только в пятницу.

Какое минимальное количество звонков в пятницу надо было совершить для того, чтобы каждый преподаватель знал к субботе все 64 задачки?

2. На планете Икс потребляется 4 тонны соли в год, добываемой из 2 карьеров. Карьеры разрабатываются двумя разными фирмами. Месторождения арендованы на срок в 20 лет и передаче в другие руки не подлежат. Фирма А либо не добывает соль, либо добывает 1; 2 или 3 тонны соли в год, фирма Б также либо ничего не добывает, либо 1 или 2 тонны. Тонна соли продается по цене не более 5 монет. Затраты на добычу одной тонны соли равны 1 монете, арендная плата за каждый карьер составляет 2 монеты в год, а обязательные выплаты акционерам 3 монеты в год. Фирма А в начале года объявляет свой объем добычи и свою цену соли. После нее ту же процедуру совершает фирма Б, зная решение фирмы А. Причем если цены у обеих фирм равны, то сначала соль купят у фирмы Б, и лишь затем у А. Начальный капитал фирмы А - 10 монет, а фирмы Б - 4 монеты. В случае недостачи соли на рынке она полностью покрывается импортом; планета не может экспортировать соль. Добытая, но не проданная за год соль конфискуется государством для своих нужд. Все платежи осуществляются единовременно в конце года. Фирма функционирует в течение года, только если в конце года она может рассчитаться по своим обязательствам.

Какая стратегия поведения на рынке выгодна каждой из фирм в случаях возможности и невозможности достижения соглашения между ними?

3. В Лимонии все земельные участки прямоугольные и принадлежат семейным парам. При этом земельный налог, равный сумме квадратов длин северной и южной сторон участка, платит муж, а налог, равный сумме квадратов длин западной и восточной сторон, - жена. Одна из пар заплатила с двух участков 12 евриков налога, причем муж заплатил не больше 10 евриков налога, а жена не меньше 2.

Какова максимально возможная площадь земли находится в собственности супругов?

4. Несколько лет назад в журнале "Деньги" была опубликована статья о готовящейся в США реформе, по которой доллар, имеющий хождение внутри США, оставался зеленым, а вне страны заменялся красным.

Каковы были бы экономические последствия этой реформы в случае ее осуществления? Зачем такая реформа нужна была США?

5. Как известно, есть три основных вида карт, дающих право на получение скидки: