40 Международная математическая олимпиада школьников

Румыния, Бухарест, 10-22 июля 1999 г.

Русская версия Russian version

Первый день.

Бухарест, 16 июля 1999 г.

Время работы 4 часа 30 минут
Каждая задача оценивается в 7 баллов

Задача 1.
Найдите все конечные множества S точек плоскости, содержащие не менее трёх точек, удовлетворяющие следующему условию:

для любых двух различных точек A и B из S серединный перпендикуляр к отрезку AB является осью симметрии множества S .

Задача 2.

Пусть n - данное целое число, n>2 .

а) Определите наименьшую константу C такую, что неравенство

S	xixj((xi)2+(xj)2) < C	(	S	xi	)4
1 < i < j < n			1 < i < n

б) Для этой константы C определите, когда выполняется равенство.

Задача 3.
Рассмотрим квадратную доску n*n, где n - данное чётное натуральное число, разбитую на n² единичных квадратов. Два различных единичных квадрата назовём соседними, если они имеют общую сторону.

N единичных квадратов на доске отмечены таким образом, что каждый квадрат (отмеченный или неотмеченный) имеет хотя бы один отмеченный соседний квадрат.

Найдите наименьшее возможное значение N.

Второй день.

Бухарест, 17 июля 1999 г.

Время работы 4 часа 30 минут
Каждая задача оценивается в 7 баллов

Задача 4.
Найдите все пары (n,p) натуральных чисел такие, что
p - простое
n < 2p, и
(p-1)ⁿ делится на n^p-1

Задача 5.
Две окружности Г₁ и Г₂, содержащиеся внутри окружности Г, касаются Г в различных точках M и N соответственно. Окружность Г₁ проходит через центр окружности Г₂. Прямая, проходящая через две точки пересечения Г₁ и Г₂, пересекает Г в точках A и B. Прямые MA и MB пересекают Г₁ в точках C и D соответственно.

Докажите, что CD касается Г₂.

Задача 6.
Найти все функции f: R -> R такие, что

f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) - 1