Русская версия Russian version
Время работы: 4 часа 30 минут
Каждая задача оценивается в 7 баллов
Задача 1.
Окружности G1 и
G2
пересекаются в точках M и N. Прямая l - общая касательная
к G1 и
G2 такая, что
M расположена к l ближе, чем N. Прямая l касается
G1 в точке A, а
G2 - в точке B. Прямая, проходящая
через M параллельно l, пересекает вторично окружность
G1 в точке C, а окружность
G2 - в точке D.
Прямые CA и DB пересекаются в точке E, прямые
AN и CD - в точке P,
прямые BN и CD - в точке Q.
Докажите, что EP=EQ.
Задача 2.
Положительные числа a, b, c таковы, что abc=1.
Докажите, что
| ( | 1 | )( | 1 | )( | 1 | ) | |||
| a-1+ | - | b-1+ | - | c-1+ | - | <1 | |||
| b | c | a | |||||||
Задача 3.
Дано натуральное число n>2. Сначала на горизонтальной прямой
сидят n блох, не все в одной точке.
Для положительного действительного числа l
определим прыжок следующим образом:
выбираются две блохи, сидящие в произвольных точках A и B,
причём A левее B, и блоха, сидящая в A, прыгает в точку
C, расположенную на данной прямой справа от B, такую, что
BC/AB=l.
Определите все значения l такие, что для любой
точки M на этой прямой и для любого начального расположения n
блох существует конечная последовательность прыжков, после которых все блохи
окажутся справа от точки M.
Время работы 4 часа 30 минут
Каждая задача оценивается в 7 баллов
Задача 4.
У фокусника 100 карточек, занумерованных числами от 1 до 100. Он раскладывает
все карточки в три ящика: красный, белый и синий так, чтобы в каждом ящике
лежала хотя бы одна карточка.
Один из зрителей выбирает два из трёх ящиков, вынимает из них по одной
карточке и объявляет сумму номеров вынутых карточек. Зная эту сумму,
фокусник определяет тот ящик, из которого карточка не вынималась.
Сколькими различными способами можно разложить карточки по ящикам так,
чтобы этот фокус всегда удавался?
(Способы, при которых хотя бы одна карточка попадает в разные ящики,
считаются различными.)
Задача 5.
Существует ли натуральное число n такое, что n имеет ровно 2000
различных простых делителей, и 2n+1 делится на n.
Задача 6.
Пусть AH1, BH2, CH3 -
высоты остроугольного треугольника ABC.
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC,
CA, AB в точках T1, T2,
T3 соответственно. Прямые l1,
l2, l3 являются образами прямых
H2H3,
H3H1,
H1H2 при симметрии относительно прямых
T2T3,
T3T1,
T1T2 соответственно.
Докажите, что прямые l1, l2,
l3 образуют треугольник с вершинами на
окружности, вписанной в треугольник ABC.
Результаты школьников команды Российской Федерации.
| Фамилия, имя | Оценки по задачам | Результат | |||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
| Поярков Алексей | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | Золотая медаль |
| Гайфуллин Александр | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | Золотая медаль |
| Лифшиц Юрий | 7 | 7 | 7 | 4 | 7 | 6 | Золотая медаль |
| Федотов Алексей | 7 | 7 | 1 | 6 | 7 | 5 | Золотая медаль |
| Дрёмов Владимир | 7 | 7 | 1 | 7 | 7 | 4 | Золотая медаль |
| Халявин Андрей | 7 | 1 | 2 | 7 | 7 | 3 | Серебряная медаль |
Файлы с листками заданий в графической форме: первый день (41_1_ru.gif, 31946 байт), второй день (41_2_ru.gif, 31968 байт).
