10-й Математический Праздник.
21 февраля 1999 года

6 класс

1. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками отметили еще по точке. Такое "уплотнение" повторили еще дважды (всего 3 раза). В результате на прямой оказалось отмечено 113 точек. Сколько точек было отмечено первоначально?

Решение. Если (до уплотнения) было отмечено n точек, то после уплотнения будет отмечено 2n-1 точек (из которых n старых и n-1 - новая). Следовательно, число точек до уплотнения можно найти, прибавив к числу точек после уплотнения единицу и поделив пополам. Таким образом, до последнего уплотнения было (113+1)/2=57 точек, до второго - (57+1)/2=29 точек и в самом начале - (29+1)/2=15 точек.

Ответ: изначально было отмечено 15 точек.

2. Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а произведение - 420.

Решение. Для начала разложим 420 на множители:
420 = 6 x 7 x 10 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7.
Теперь уже несложно сгруппировать эти множители в пять групп так, чтобы в сумме получилось 20:
7 x 5 x 3 x 4 x 1 = 420; 7+5+3+4+1 = 20.

3. Квадрат 4 x 4 разделен на 16 клеток. Раскрасьте эти клетки в черный и белый цвета так, чтобы у каждой черной клетки было три белых соседа, а у каждой белой клетки был ровно один черный сосед. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)

Решение. Заметим для начала, что белых клеток должно быть втрое больше чем черных, так что белых будет 12, а черных - 4. После этого легко нарисовать требуемую картинку.

4. Из Москвы вылетел вертолет, который пролетел 300 км на юг, потом 300 км на запад, 300 км на север и 300 км на восток, после чего приземлился. Оказался ли он южнее Москвы, севернее ее или на той же широте? Оказался ли он восточнее Москвы, западнее Москвы или на той же долготе?

Решение. Вертолет летит на юг по московскому меридиану, затем по параллели, потом снова по меридиану на север, а затем по более северной параллели. Так как все меридианы одинаковы, широта его не изменится (сколько градусов он пролетел на юг, столько же он пролетит и на север). А параллели разные: чем севернее, тем короче, так что на северной параллели те же 300 км составят большее число градусов. Значит, вертолет окажется восточнее Москвы на той же широте.

5. Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в углах клеток, две медианы которого перпендикулярны. (Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.)

Решение. Удобно сначала нарисовать перпендикулярные медианы треугольника, а потом уже вершины. Вот один из возможных вариантов:

6. На плоскости нарисован черный квадрат. Имеется семь квадратных плиток того же размера. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть черного квадрата (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать?

Решение. Задачу решить легче, если сначала понять, как поплотнее уложить плитки, а потом уже смотреть, где разместить черный квадрат.

Дата последнего изменения: 17 января 2000 года