11-й Математический Праздник.
13 февраля 2000 года

Условия и решения задач.

7 класс

Задача 1. [3 балла]
В квадрате 7*7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по 3 закрашенных клетки. [3 балла]

Смотрите решение задачи N 2 в варианте 6 класса.

Задача 2.
Карлсон написал дробь 10/97. Малыш может:
1) прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно,
2) умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.
Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь,
а) равную 1/2? [2 балла]
б) равную 1? [4 балла]

Решение.
а) Да, достаточно прибавить к числителю и знаменателю по 77. (К этому числу приводит уравнение 2(10+x)=97+x.)
б) Нет. Действительно, дробь равна единице, если ее числитель и знаменатель равны. А Малыш никак не сможет из неравных чисел сделать равные.

Задача 3.
Дан прямоугольный треугольник. Приложите к нему какой-нибудь треугольник (эти треугольники должны иметь общую сторону, но не должны перекрываться даже частично) так, чтобы получился треугольник с двумя равными сторонами.

Укажите (нарисуйте!) несколько различных решений.
Каждое новое решение - [1 балл].

Решение.
На рисунке цифрами отмечены вершины семи приложенных треугольников.

Найдите сами, какие стороны получаются равными.

Задача 4. [8 баллов]
Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

Ответ: Нет, не может.

Решение. Докажем методом от противного.
Предположим, что найдутся два натуральных числа k и n такие, что n(n+1)=2k(2k+2). Отметим числа 2k и 2k+2 на числовой оси и рассмотрим два случая: n<2k и n>2k.
Если n<2k, то n+1<2k+2, поэтому n(n+1)<2k(2k+2). Противоречие.
Если n>2k, то n+1>2k+2, поэтому n(n+1)>2k(2k+2). Противоречие.

Задача 5. [10 баллов]
В вершинах куба ABCDEFGH расставлены натуральные числа так, что числа в соседних (по ребру) вершинах отличаются не более чем на единицу. Докажите, что обязательно найдутся две диаметрально противоположные вершины, числа в которых отличаются не более чем на единицу.

(Пары диаметрально противоположных вершин куба: A и G, B и H, C и E, D и F.)

Решение. Обозначим числа, стоящие в вершинах куба, соответствующими маленькими латинскими буквами: a, b, c, d, e, f, g и h.
Рассмотрим наименьшее из этих чисел. Без ограничения общности мы можем считать, что это число a (оно находится в вершине A). Тогда числа в соседних с A вершинах (это вершины B, D и E) могут принимать только значения a или a+1 (так как a-1<a). Значит, какие-нибудь два из чисел b, d и e равны.
Пусть равные числа стоят в вершинах B и E (остальные случаи рассматриваются аналогично). В этом случае ответом будут диаметрально противоположные вершины E и C: e=b, а числа c и b отличаются не более, чем на 1, поэтому числа e и c отличаются не более, чем на 1.

Авторы задач:
А. Ю. Митягин (1), В. В. Клепцын (2), А. Шень (3), В. В. Произволов (4), Г. А. Гальперин (5)

Дата последнего изменения: 15 февраля 2000 года