1. Сегодняшнюю дату можно записать в виде 18.04.99. Для какой ближайшей из будущих дат запись указанного вида состоит из шести различных цифр?
2. Существует ли прямоугольный треугольник, у которого оба катета и гипотенузу можно изменить на единицу (каждую сторону увеличить или уменьшить по своему усмотрению) так, чтобы измененные катеты и гипотенуза стали соответственно катетами и гипотенузой некоторого нового прямоугольного треугольника?
3. Для данного натурального a определим величину Q=Q(a) как количество различных простых делителей числа a. Доказать, что для любого натурального n существует такое натуральное a, что для каждого из n чисел a, 2a, 3a, ..., na величина Q принимает одно и то же значение.
4. Пусть точки M и N - середины сторон A1A2 и, соответственно, A2A3 правильного многоугольника A1A2...An (n>4). С какой стороны от этого многоугольника пересекаются прямые NAk и MAk+1 (3<k<n): со стороны вершины A2 или с противоположной?
5. Доказать, что для любых чисел x, y, z справедливо неравенство
x2+((x+y)/2)2+ ((x+y+z)/3)2< (11/6)(x2+y2+z2)
6. Какое наибольшее число ладей можно расставить на прямоугольной "шахматной" доске размером m*n так, чтобы каждая ладья находилась под боем не более двух ладей (любые две ладьи бьют друг друга, если они стоят в одном вертикальном или горизонтальном ряду и между ними нет третьей ладьи)?
1. Сегодняшнюю дату можно записать в виде 18.04.1999. Для какой ближайшей из будущих дат запись указанного вида состоит из восьми различных цифр?
2. Верно ли, что для любых чисел x, y выполнено равенство
x+((y+|y|)/2)+|x-((y+|y|)/2)|= y+((x+|x|)/2)+|y-((x+|x|)/2)| ?
3. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки M и N соответственно. Отрезок AM пересекается с отрезком BN в точке P, а отрезок DM с отрезками BN и AN - в точках Q и R соответственно. Что больше: площадь четырехугольника APQR или сумма площадей треугольников BPM, DRN и четырехугольника MCNQ ?
4. Как в выражении
(*(*(...(*(*)1/2)1/2)1/2)1/2)1/2,
содержащем n звездочек, расставить вместо звездочек числа 21,22, ..., 2n (каждое по одному разу), чтобы это выражение приняло наибольшее целочисленное значение?5. Вершины E и F треугольника EFG лежат на сторонах AB и BC треугольника ABC, причем вершины G и B расположены по разные стороны от прямой EF. Доказать, что если точки A, E, F, C лежат на одной окружности и /ABC=/EFG=/FEG, то прямая BG делит сторону AB пополам.
6. Для каждого натурального m обозначим через Dm наименьшее общее кратное чисел 1, 2, ..., m . Доказать, что для любых натуральных a, b, n, удовлетворяющих неравенствам a<b<2n, число DnD(2n) делится на ab.
1. Для любых x, y > 0 выяснить, что больше:
(xy(x2+y2)/2)1/4 или (x+y)/2
2. С данной дробью m/n
(m, n C N), отличной от 1, проделывают
следующую операцию: и числитель, и знаменатель этой дроби увеличивают на 1,
а затем полученную дробь сокращают до несократимой. С новой дробью
проделывают ту же операцию и т. д. Доказать, что рано или поздно числитель
и знаменатель станут различаться ровно на 1.
3. Торт, имеющий форму правильного многоугольника (вид сверху), режут на части всеми возможными диагоналями этого многоугольника. Может ли в результате образоваться целый кусок торта, имеющий форму:
а) правильного треугольника;
б) правильного шестиугольника?
4. В комнату высотой 210 см внесли и положили шкаф длиной 70 см, шириной 150 см и высотой 200 см. Можно ли поставить этот шкаф, не вынося его из комнаты?
5. Доказать равенство
(sin 1o)(sin 3o) (sin 5o)...(sin 87o)(sin89o)=2-44,5.
6. Кладоискатель выкопал на участке клад, в котором оказалось 64 монеты достоинством в 1, 2, ..., 64 динара соответственно. Хозяин участка организовал взятие платы с кладоискателя следующим образом: кладоискатель по своему усмотрению кладет по одной монете на каждую клетку шахматной доски, а хозяин забирает наибольшее возможное число динаров, взяв восемь монет, никакие две из которых не лежат в одном ряду (ни в вертикальном, ни в горизонтальном). Какое наименьшее число динаров кладоискатель может уплатить хозяину?