Двадцатый Турнир, 1998-1999

Задача 1.(3) Отец и сын катаются на коньках по кругу. Время от времени отец обгоняет сына. После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в 5 раз чаще.
Во сколько раз отец бегает быстрее сына?

Задача 2.(4) На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат ABDE. Дано: AC = 1 см и BC = 3 см.
В каком отношении делит сторону DE биссектриса угла C ?

Задача 3.(4) На доске написано несколько целых положительных чисел: a₀, a₁, a₂, ... , a_n. Пишем на другой доске следующие числа: b₀ - сколько всего чисел на первой доске, b₁ - сколько там чисел, больших единицы, b₂ - сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом закончиваем - нули не пишем. На третьей доске пишем числа c₀, c₁, c₂, ... , построенные по числам второй доски по тому же правилу, по которому числа b₀, b₁, b₂, ... строились по числам первой доски.
Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.

Задача 4.(5) На плоскости нарисован черный равносторонний треугольник. Имеется девять треугольных плиток того же размера и той же формы. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть черного треугольника (хотя бы одну точку внутри него).
Как это сделать?

Задача 5.(5) Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых 9 параллельны одной стороне квадрата, а 9 - другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них - квад раты.
Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.

Задача 1.(3) В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.
Найдите последнее число.

Задача 2.(3) На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат ABDE. Дано: AC = 1 см и BC = 3 см. В каком отношении делит сторону DE биссектриса угла C?

Задача 3.(3) На доске написано несколько целых положительных чисел: a₀, a₁, a₂, ... , a_n. Пишем на другой доске следующие числа: b₀ - сколько всего чисел на первой доске, b₁ - сколько там чисел, больших единицы, b₂ - сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом закончиваем - нули не пишем. На третьей доске пишем числа c₀, c₁, c₂, ... , построенные по числам второй доски по тому же правилу, по которому числа b₀, b₁, b₂, ... строились по числам первой доски.
Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.

Задача 4.(5) На плоскости нарисован черный квадрат. Имеется семь квадратных плиток того же размера. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть черного квадрата (хотя бы одну точку внутри него).
Как это сделать?

Задача 5.(5) Игра происходит на квадрате клетчатой бумаги 9*9. Играют двое, ходят по очереди. Начинающий игру ставит в свободные клетки крестики, его партнер - нолики. Когда все клетки заполнены, подсчитывается количество строк и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов, - число K, и количество строк и столбцов, в которых ноликов больше, чем крестиков - число Н (всего строк и столбцов - 18). Разность В = К - Н считается выигрышем игрока, который начинает.
Найдите такое значение B, что
1) первый игрок может обеспечить себе выигрыш не меньше B, как бы ни играл второй игрок;
2) второй игрок всегда может добиться того, что первый получит выигрыш не больше B, как бы тот ни играл.

Задача 1.(3) В банке 500 долларов. Разрешаются две операции: взять из банка 300 долларов или положить в него 198 долларов. Эти операции можно проводить много раз, при этом, однако, никаких денег, кроме тех, что первоначально лежат в банке, нет.
Какую максимальную сумму можно извлечь из банка и как это сделать?

Задача 2.(4) O - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.
Докажите, что если окружность, проходящая через точки A, B и O, касается прямой BC, то окружность, проходящая через точки B, C и O, касается прямой CD.

Задача 3.(4) Играют двое. Первый выписывает в строку слева направо цифры, произвольно чередуя 0 и 1, пока всех цифр не станет всего 1999. Каждый раз после того, как первый выписал очередную цифру, второй меняет между собой две цифры из уже написанного ряда (когда написана только одна цифра, второй пропускает ход).
Всегда ли второй может добиться того, чтобы после его последнего хода расположение цифр было симметричным относительно средней цифры?

Задача 4.(6) 2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки.
Докажите, что найдется полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.

Задача 5.(6) Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. RS - средняя линия, параллельная AB, T - точка пресечения прямых PQ и RS.
Докажите, что T лежит на биссектрисе угла B треугольника.

Задача 6.(9) Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8*8 и вернулась на исходное поле.
Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.

Задача 1.(4) В море плавает предмет, имеющий форму выпуклого многогранника.
Может ли случиться, что 90% его объема находится ниже уровня воды, и при этом больше половины его поверхности находится выше уровня воды?

Задача 2.(4) ABCD - выпуклый четырехугольник, вписанный в окружность с центром в точке O. Окружности, описанные вокруг треугольников ABO и CDO, пересеклись второй раз в точке F.
Докажите, что окружность, проходящая через точки A, F и D, проходит через точку пересечения отрезков AC и BD.

Задача 3.(5) Найдите все пары целых чисел (x,y), для которых выполняется условие: числа x³+y и x+y³ делятся на x²+y².

Задача 4.(5) 2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки.
Докажите, что найдется полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n. Для каждого целого неотрицательного числа i определим число M(i) следующим образом: запишем число i в двоичной форме; если число единиц в этой записи четно, то M(i) = 0, а если нечетно - то 1 (первые члены этой последовательности: 0,1,1,0,1,0,0,1, ... ).
а)(2) Рассмотрим конечную последовательность M(0), M(1), ... , M(1000).
Докажите, что число членов этой последовательности, равных своему правому соседу, не меньше 320.
б)(5) Рассмотрим конечную последовательность M(0), M(1), ... , M(1000000).
Докажите, что число таких членов последовательности, что M(i) = M(i+7), не меньше 450000.

Задача 6.(8) Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8*8 и вернулась на исходное поле.
Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.