Очередной турнир состоится 12.11.2000 .
| N п/п | Классы | Номер школы, гимназии, ... | Город | Вариант | Счёт | Капитан команды | Жюри |
| 1 | 8 | муниципальная гимназия | г. Раменское | МА | 12 | Щербакова Зоя | Заславский А. А., Бородин П. А., Лившиц Е. |
| 2 | 8 | 5 | г. Долгопрудный | 18 | Леонов Александр | ||
| 3 | 9 | 5 | г. Долгопрудный | МА | 24 | Егоров Андрей | Богданов И. И., Андреева А., Ерошин А. |
| 4 | 9 | муниципальная гимназия | г. Раменское | 24 | Тайманов Алексей | ||
| 5 | 8 | 1543 | Москва | МА | 36 | Туровский Борис | Черепанов Е., Баскаков И., Трушин Б. |
| 6 | 9 | 91 | Москва | 17 | Уточникова Валентина | ||
| 7 | 8 | 1557 | Москва, Зеленоград | МБ | 9 | Семенов Павел | Николаев А., Шебкаев М., Вавилов В. |
| 8 | 8,9 | 870 | Москва | 29 | Королев Константин | ||
| 9 | 9 | 1557 | Москва, Зеленоград | МБ | 25 | Кораблин Алексей | Гаас В., Хакимова Г., Горячева В. |
| 10 | 9 | 1516 | Москва | 14 | Борисанова Анна | ||
| 11 | 8,9 | 218 | Москва | МБ | 12 | Филимонов Петр | Галкин С., Клепцын В. |
| 12 | 8,9 | ЦДНТиД "Хорошево" | Москва | 18 | Захаров Сергей | ||
| 13 | 8 | 79 | Москва | МБ | 9 | Семин Сергей | Красненко Е., Левицкий А., Вакулюк В. |
| 14 | 8 | 10 | г. Пушкино | 20 | Анохин Николай | ||
| 15 | 8 | 363 | Москва | МБ | 10 | Корольков Василий | Мусиенко Д., Семенов А., Пронина Е. |
| 16 | 8 | 1 | г. Щербинка | 37 | Ковалева Светлана | ||
| 17 | 10,11 | 54 | Москва | СБ | 45 | Подольский Владимир | Коровин А., Бирюков Л., Кочагин В. |
| 18 | 11 | 1557 | Москва, Зеленоград | 45 | Ярошевич Владимир | ||
| 19 | 10 | 1534 | Москва | СБ | 15 | Бурилич Юрий | Хачатурян А. В., Ройзнер Ю. А., Хисамбеев И. |
| 20 | 10 | 1511 | Москва | 39 | Ларионов Виталий | ||
| 21 | 11 | 1534 | Москва | СБ | 16 | Вершинин Анатолий | Романов А., Прокофьев А., Соколова Т. |
| 22 | 11 | 1511 | Москва | 68 | Съедин Юрий | ||
| 23 | 8,10 | 1543 | Москва | СБ | 62 | Колодкина Наталья | Ларин В., Караваева Т. |
| 24 | 10 | 1557, 853 | Москва, Зеленоград | 6 | Соколов Алексей | ||
| 25 | 10 | НОУ "Доверие" | Москва | СБ | 1 | Изимова Гульхази | Френкин Б. Р., Злобин С., Алферов Р |
| 26 | 10 | 17 | Москва | 22 | Страшнов Стас | ||
| 27 | 11 | 2 | Москва | СБ | 66 | Каплан Станислав | Ковальджи А. К., Кочетков К. П. |
| 28 | 11 | 218 | Москва | 12 | Самарин Гурий | ||
| 29 | 10 | 2 | Москва | СА | 15 | Гонгальский Максим | Канель-Белов А. Я., Балабанов А.И. |
| 30 | 10 | 57 | Москва | 55 | Притыкин Юрий | ||
| 31 | 11 | 2 | Москва | СА | 48 | Тищенко Сергей | Челноков Г. Р., Нетрусова Н., Каратассо Ю |
| 32 | 11 | 1543 | Москва | 42 | Барский Евгений | ||
| 33 | 10 | 2 | Москва | СБ | 37 | Нозик Александр | Спивак А. В., Скопенков М. Б. |
| 34 | 10 | 218 | Москва | 45 | Филимонов Дмитрий |
1. Можно ли без наложений покрыть плоскость попарно различными квадратами?
2. Бесконечная полоса разбита на клетки, в каждой из которых записано неотрицательное число. Каждое из этих чисел не меньше, чем среднее арифметическое шести чисел: трёх предыдущих и трёх последующих. Докажите, что все числа одинаковы.
3. Экспедиции требуется перенести банку консервов в лагерь, находящийся в 20 днях пути от базового, оставить её там и вернуться обратно. Каждый член экспедиции может нести с собой не более 3 банок консервов, причем за день он съедает 1 банку. Оставлять консервы можно только в промежуточных лагерях, расстояние между соседними лагерями - 1 день пути. Какое наименьшее количество банок должна взять с собой экспедиция?
4. В выпуклый многоугольник вписан другой выпуклый многоугольник (вершины второго лежат на сторонах первого, по одной вершине на каждой стороне). В эти многоугольники вписаны окружности с радиусами R1 и R2 соответственно (R1>R2). У каждого из треугольников, образовавшихся при вершинах первого многоугольника, радиус вписанной окружности равен r. Докажите, что R1=R2+r.
5. В основании пирамиды лежит параллелограмм. Докажите, что из ее боковых граней можно составить тетраэдр, и объём этого тетраэдра будет вдвое меньше объёма исходной пирамиды.
6. Докажите, что
cos(p/4)(1-cos(p/4)) + 2cos(p/8)(1-cos(p/8)) + ... + 256cos(p/1024)(1-cos(p/1024)) < 1/2.
7. Сколько существует правильных раскрасок сторон n-угольника в k цветов? (Правильной называется такая раскраска, при которой соседние стороны окрашены в разные цвета.)
8. На плоскости взяли n точек общего положения. Раскраска точек в два цвета называется неразделимой, если не существует такой прямой, что все точки одного цвета находятся относительно этой прямой в одной полуплоскости, а все точки другого цвета - в другой. Докажите, что число неразделимых раскрасок (при фиксированном n) не зависит от выбора n точек.
9. Докажите, что для любого многочлена 2001-й степени f(x) можно найти такое натуральное k, что у многочлена f(x)+f(x+1)+...+f(x+k) есть ровно один вещественный корень.
10. Докажите, что
| 3 | 3 | |||||||
| 9 | < | I | (x4+1)1/4dx | + | I | (x4-1)1/4dx | < | 9,0001 |
| 1 | 1 |
Примечание: символ I использован вместо знака интеграла.
1. Треугольник разрезан на выпуклые многоугольники. Докажите, что среди этих ов либо найдутся хотя бы два с одинаковым числом сторон, либо найдется треугольник.
2. Бесконечная полоса разбита на клетки, и в каждой клетке записано неотрицательное число. Каждое из этих чисел не меньше среднего арифметического своих соседей. Докажите, что числа во всех клетках равны.
3. Имеется один аэродром на экваторе и много самолётов, каждый из которых в состоянии взять топливо, достаточное для полёта на 2000 км. (Самолёты могут дозаправлять друг друга в воздухе, временем дозаправки можно пренебречь.) Может ли хотя бы один самолёт совершить кругосветное путешествие (дозаправляясь в воздухе от других) так, чтобы в итоге все самолёты вернулись на аэродром?
4. Дан треугольник ABC. Найдите геометрическое место точек P таких, что сумма PA2+PB2+PC2 постоянна.
5. Муравей ползает по поверхности куба с ребром 1 см. Он хочет побывать на всех гранях куба и вернуться в исходную точку. Найдите наименьшую возможную длину его пути.
6. При фиксированном p и любом x: f(x+p)=f(x)/(3f(x)-1) . Докажите, что функция f(x) - периодическая.
7. Докажите, что если m не равно n, то НОД (22m+1; 22n+1)=1 .
Примечание: некоторые браузеры некорректно отображают индексы к индексам. В этом случае задачу можно сформулировать так:
Докажите, что если m не равно n, то НОД (2a+1; 2b+1)=1 , где a=2m и b=2n
8. С кучей камней разрешается делать следующее: выкинуть один камень и разделить её на две. Вначале дана куча из 2001 камня. Можно ли с помощью указанной операции добиться, чтобы во всех кучах было по три камня?
9. В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что найдётся 10 сапог, стоящих подряд, среди которых 5 левых и 5 правых.
10. Для положительных x, y, z докажите неравенство:
(x+(y+z1/4)1/3)1/2 > xyz1/32 .
1. При каком наибольшем n правильный n-угольник можно разрезать на несколько правильных многоугольников?
2. Имеется один аэродром и много самолётов, каждый из которых в состоянии взять топливо, достаточное для полёта на 2000 км. (Самолёты могут дозаправлять друг друга в воздухе, временем дозаправки можно пренебречь.) Может ли хотя бы один самолёт совершить кругосветное путешествие (дозаправляясь в воздухе от других) так, чтобы все самолёты вернулись на аэродром?
3. Четные натуральные числа a и b получаются друг из друга перестановкой цифр. Докажите, что суммы цифр чисел a/2 и b/2 равны.
4. Даны натуральные числа n и d, причем число d является делителем числа 2n2. Докажите, что n2+d не является квадратом.
5. Вдоль одной стороны коридора расположено бесконечное число комнат, занумерованных целыми числами, и в каждой стоит по роялю. В этих комнатах живёт конечное число пианистов (в одной комнате может жить и несколько пианистов). Каждый день два пианиста, живущие в соседних комнатах (с номерами k и (k+1) ), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в комнаты с номерами (k-1) и (k+2). Докажите, что через конечное число дней переселения прекратятся.
6. Докажите, что существует квадратный трехчлен f(x)
такой, что у многочлена
f(x)+f(x+1)+...+f(x+2000)
есть корень, а у многочлена
f(x)+f(x+1)+...+f(x+2001) - нет.
7. Центры трёх попарно касающихся окружностей образуют прямоугольный треугольник периметра p. Найдите радиус окружности, касающейся трёх данных и содержащей их внутри себя.
8. 15 команд провели волейбольный турнир в один круг. В результате у всех оказалось по 7 побед. Определите количество троек команд, имеющих в играх между собой по одной победе.
9. Министерство культуры издало служебную инструкцию, содержащую полный список некультурных слов (он конечен). Известно, что есть сколь угодно длинные слова, никакая часть которых ("подслово") не совпадает с некультурным словом. Докажите, что существует бесконечное периодическое слово без некультурных "подслов".
10. Рассматриваются все различные последовательности длины n из +1 и -1. Для каждой из них вычисляется квадрат суммы чисел этой последовательности. Найдите среднее арифметическое всех полученных чисел.
1. Можно ли без наложений покрыть плоскость квадратами, среди которых ровно два одинаковых?
2. Решите уравнение:
(a-(a+x)1/2)1/2 = x .
3. На планете А циферблат часов разделен на h часов, и каждый час состоит из m минут (m>h). На планете Б - на циферблате m часов, а в часе h минут. На какой из планет чаще происходит совпадение трех стрелок: часовой, минутной и секундной? (Все стрелки движутся равномерно, секундная совершает полный оборот за 1 минуту. В 0 ч. 0 м. 0 с. на часах обоих типов все три стрелки совпадают.)
4. Для учёта посещаемости в библиотеке повесили две доски. Каждый посетитель записывает, сколько человек он застал в библиотеке: на одной доске - в момент входа, а на другой - в момент выхода. Докажите, что за день на обеих досках появятся одни и те же числа (может быть, в различном порядке).
5. Сумма 1+(1/2)+...+(1/(p-1)) равна дроби a/b. Докажите, что если число p - простое (но не 2), то a делится на p.
6. Точки A и B движутся в плоскости по двум пересекающимся прямым с одинаковыми скоростями. Существует ли в этой плоскости неподвижная точка, которая в любой момент времени равноудалена от A и B ?
7. В треугольнике ABC проведены медианы AA1,
BB1, CC1 и высоты AA2,
BB2, CC2. Докажите, что длина ломаной
A1B2C1A2B1C2A1
равна периметру треугольника.
8. Дан квадратный трехчлен f(x)=ax2+bx+c (a не равно 0). Докажите, что найдется такое натуральное k, что у многочлена f(x)+f(x+1)+...+f(x+k) нет действительных корней.