1. Числа a, b, c и d таковы, что для всякого числа х, для которого cx+d не равно 0 и c1x+d1 не равно 0, выполнено неравенство (ax+b)/(cx+d) > (a1x+b1)/(c1x+d1). Докажите, что величина ((ax+b)/(cx+d)) - ((a1x+b1)/(c1x+d1)) не зависит от числа x (для тех значений x, для которых оба знаменателя отличны от нуля).
2. По кругу произвольным образом расставлены числа от 1 до 30. Стоящие на соседних местах числа можно поменять местами. После некоторого количества таких операций оказалось, что каждое число переместилось на диаметрально противоположное место. Докажите, что в некоторый момент меняли местами числа, сумма которых равна 31.
3. На прямой отмечено несколько отрезков (может быть, пересекающихся). Левую половину каждого отрезка покрасили в красный цвет. Оказалось, что закрашенные точки образовали сплошной красный отрезок. Если бы вместо этого правую половину каждого из исходных отрезков покрасили в синий цвет, то синие точки образовали бы сплошной синий отрезок, длина которого была бы на 20 см короче длины красного. Докажите, что среди исходных отмеченных отрезков найдутся два отрезка, длины которых отличаются не менее, чем на 40 см.
4. В некотором треугольнике высота, биссектриса и медиана, проведенные из различных вершин, пересекаются в одной точке. Верно ли, что этот треугольник - равносторонний?
5. Делится ли число 22...22 (всего 1998 цифр '2') на 199819981998?
6. В вершинах правильного 1998-угольника записаны числа. Известно, что сумма трех чисел в вершинах любого равнобедренного треугольника - целое число. Верно ли, что сумма трех чисел в вершинах любого треугольника - тоже целое число?
7. Два игрока по очереди закрашивают клетки доски 8*8. Если перед ходом игрока есть незакрашенные клетки, имеющие не менее двух закрашенных соседей (по стороне), то игрок своим ходом закрашивает их все. Если таких клеток нет, то он закрашивает одну любую незакрашенную клетку. Выигрывает тот, кто закрасит последнюю клетку. Кто выигрывает при правильной игре?
8. Имеются сто натуральных чисел. Докажите, что для некоторого натурального числа k < 100 из них всегда можно выбрать k чисел так, что две последние цифры их суммы образуют число k (если сумма оканчивается двумя нулями, это соответствует ста слагаемым).
1. Фабрика выпускает наборы из n > 2 слоников различной величины. По стандарту разница масс соседних слоников должна быть одной и той же. Контролер хочет проверить это с помощью чашечных весов без гирь. При каком наименьшем n это возможно?
2. Первый член последовательности равен 98. Каждый следующий член получается так: из предыдущего вычитается наибольшая степень двойки, меньшая этого числа, а затем полученная разность возводится в квадрат (например, 13 --> (13-23)2 = 25). Найдите цифру единиц 98-го члена.
3. ABCD - равнобедренная трапеция (AD||BC). N - точка пересечения серединного перпендикуляра к стороне AB с прямой BC. Оказалось, что AN|CD. Найдите углы трапеции.
4. В стране из каждого города выходят три железные дороги. Их хотят приватизировать две компании. Антимонопольный комитет требует, чтобы из каждого города выходили дороги разных компаний. Докажите, что это требование всегда может быть выполнено.
5. По кругу расставлены n целых чисел. Каждую секунду с ними одновременно проделывают следующую операцию. Если два соседних с данным числа больше него, то данное число увеличивают на единицу, если меньше, то уменьшают на единицу, в противном случае число не изменяется. При каких n обязательно наступит момент, начиная с которого все числа, независимо от начальных значений, перестанут меняться?
6. Докажите, что если выпуклый шестиугольник можно разрезать на три параллелограмма, то это можно сделать не менее, чем двумя различными способами.
7. Решите уравнение [x3] = {x2} + 11 ([x] - наибольшее целое число, не превосходящее x, {x} = x - [x]).
8. На доске написано одиннадцать двоек. Разрешается стереть любые два числа и записать на доску их сумму или их произведение. Может ли после нескольких таких операций на доске остаться число 774?
1. Дана бесконечная последовательность чисел {an}, в которой для всех натуральных n выполняется соотношение an+2 = НОД(an, an+1) + 1. Может ли эта последовательность содержать более 1998 различных чисел?
2. Существует ли выпуклый девятиугольник, который можно разрезать на шесть равных четырехугольников?
3. Число называется редким, если его можно представить в виде произведения какого-нибудь натурального числа на сумму цифр этого числа. Докажите, что среди натуральных чисел от единицы до миллиона редких чисел меньше 10%.
4. Малыш и Карлсон играют в такую игру: они берут шоколадку 1997*1998 и по очереди выкусывают из нее по клеточкам кусочки (не обязательно с краю): Карлсон - кусочки 2*2, Малыш - 1*1. Если не осталось ни одного кусочка 2*2, то все остальные кусочки съедает Малыш. Выигрывает тот, кто съест больше шоколада. Кто выигрывает при правильной игре?
5. В выпуклом четырехугольнике ABCD равны диагонали. Кроме того, /BAC = /ADB, /CAD + /ADC = /ABD. Найдите /BAD.
6. Несколько государственных служащих получили одинаковую зарплату. В течение дня после этого, пока никто из них еще не успел ничего потратить, время от времени кто-нибудь из них брал часть своих денег и раздавал поровну всем остальным. После нескольких таких операций у одного из служащих оказалось 24 копейки, а еще у одного - 17 копеек. Сколько было служащих?
7. На каждой из черных клеток шахматной доски стоит по фишке. Какое наименьшее число фишек надо убрать, чтобы ладья могла пройти с любой белой клетки на любую другую белую клетку, не проходя через поля, занятые оставшимися фишками?
8. Калькулятор "Елочка" умеет выполнять две операции: вычитать из числа единицу или записывать цифры числа в обратном порядке, причем вторая операция разрешена только тогда, когда последняя цифра числа не равна нулю. За какое наименьшее число операций можно с помощью "Елочки" из числа 1000 получить число 1?
1. Клетчатый прямоугольник размером 21998*19982 разбивают на фигурки, каждая из которых является либо прямоугольником из трех клеточек, либо уголком из трех клеточек, либо имеет форму буквы "Т" из четырех клеточек. Докажите, что количество таких разбиений нечетно.
2. Сумма чисел a, b и c равна единице. Найдите наибольшее значение выражения a(0,5 - b) + b(0,5 - c) + c(0,5 - a), если известно, что каждое из чисел a, b и c не меньше -19 и не больше 98.
3. С помощью равнобедренных ножниц можно от произвольного многоугольника отсечь прямым разрезом равнобедренный треугольник. Докажите, что шестью такими отсечениями можно получить квадрат из любого треугольника, при условии, что все отсеченные равнобедренные треугольники отбрасываются.
4. Вася рисует на каждом ребре каждого из двух одинаковых кубов стрелки, после чего Петя совмещает кубы друг с другом. Если количество пар совмещенных ребер, на которых стрелки совпали, больше половины, выигрывает Вася, если меньше половины - Петя. Может ли кто-нибудь из них обеспечить себе выигрыш?
5. На шахматной доске стоят 15 фишек - по фишке в каждой клетке нижней строки и левого столбца. Каждым ходом передвигается одна из фишек на соседнюю (по вертикали или горизонтали) клетку. Запрещено ходить на клетки, где стоит или ранее побывала какая-нибудь фишка. Какое наибольшее количество фишек сможет через несколько ходов оказаться в клетках верхней строки и правого столбца?
6. Верно ли, что если в треугольнике равны отрезки всех трех серединных перпендикуляров, лежащие внутри треугольника, то этот треугольник - равносторонний?
7. На Уральский турнир приехало несколько школьников, каждый из которых имеет среди приехавших от двух до тридцати знакомых. Докажите, что организаторы могут расселить их в 60 комнат так, чтобы никакие двое знакомых не оказались в одной комнате и чтобы не было ни одного школьника, все знакомые которого живут в одной комнате.
8. Шестизначное число, все цифры в записи которого нечетны, делится на 37. Может ли его сумма цифр быть равна 38?
1. Петя записал пять линейных уравнений с двумя неизвестными и составил из них всевозможные системы из двух уравнений. Оказалось, что у каждой из этих систем - не больше одного решения, причем есть пять систем, вовсе не имеющих решений. Докажите, что, кроме этих пяти, среди десяти систем есть еще хотя бы одна, не имеющая решений.
2. Натуральные числа m и n таковы, что m18 делится на m + n. Докажите, что n18 также делится на m + n.
3. В классе 20 человек. Никакие три девочки не дружат с одинаковым числом мальчиков. Какое наибольшее количество девочек может быть в классе?
4. В некотором треугольнике высота, биссектриса и медиана, проведенные из различных вершин, пересекаются в одной точке. Верно ли, что этот треугольник - равносторонний, если известно, что биссектриса проведена из вершины угла в 60o?
5. Делится ли число 66...66(всего 1998 цифр 6) на 199819981998?
6. Окружность разбита на 12 равных частей. В каждой из точек деления записано по числу. Известно, что сумма трех чисел в вершинах любого равнобедренного треугольника - целое число. Верно ли, что сумма трех чисел в вершинах любого треугольника - тоже целое число?
7. Два игрока по очереди закрашивают клетки доски 8*8. Если перед ходом игрока есть незакрашенные клетки, имеющие не менее двух закрашенных соседей (по стороне), то игрок своим ходом закрашивает их все. Если таких клеток нет, то он закрашивает одну любую незакрашенную клетку. Выигрывает тот, кто закрасит последнюю клетку. Кто выигрывает при правильной игре?
8. В однокруговом футбольном турнире участвуют сорок команд. Могло ли после окончания турнира у каждой команды оказаться 13 выигрышей и 13 проигрышей?
1. Из прямоугольника с целочисленными сторонами можно вырезать 360 квадратов 2*2. Докажите, что из него можно вырезать 200 прямоугольников 1*7.
2. Первый член последовательности равен 98. Каждый следующий член получается так: из предыдущего вычитается наибольшая степень двойки, меньшая этого числа, а затем полученная разность возводится в квадрат (например, 13 --> (13-23)2 = 25). Найдите цифру единиц 98-го члена.
3. ABCD - равнобедренная трапеция (AD||BC). N - точка пересечения серединного перпендикуляра к стороне AB с прямой BC. Оказалось, что AN||CD. Найдите углы трапеции.
4. Найдите наименьшее натуральное число n, такое, что сумма цифр числа n равняется сумме цифр числа 11n.
5. По кругу расставлены n целых чисел. Каждую секунду с ними одновременно проделывают следующую операцию. Если два соседних с данным числа больше него, то данное число увеличивают на единицу, если меньше, то уменьшают на единицу, в противном случае число не изменяется. При каких n обязательно наступит момент, начиная с которого все числа, независимо от начальных значений, перестанут меняться?
6. В магазине пять пустых пивных бутылок можно обменять на бутылку молока, а десять пустых молочных бутылок - на бутылку пива. Сергей Владимирович нашел в подвале шестьдесят пустых бутылок и стал их обменивать. В конце у него осталась всего одна пивная бутылка (бутылки, получаемые при обменах, он использовал в последующих обменах). Сколько пивных бутылок нашел Сергей Владимирович в подвале?
7. Решите уравнение [x3] = {x2} + 11 ([x] - наибольшее целое число, не превосходящее x, {x} = x - [x]).
8. На доске написано одиннадцать двоек. Разрешается стереть любые два числа и записать на доску их сумму или их произведение. Может ли после нескольких таких операций на доске остаться число 774?
1. Петя выписал величины углов некоторого треугольника в градусах и заметил, что все эти числа - целые, причём в записи каждого из них использована одна и та же пара цифр. Найдите все такие тройки углов.
2. Из натуральных чисел от 1 до 500 вычеркнули 70 чисел. Докажите, что среди оставшихся обязательно найдутся два числа, произведение которых делится на 35.
3. Число называется редким, если его можно представить в виде произведения какого-нибудь натурального числа на сумму цифр этого числа. Докажите, что среди натуральных чисел от единицы до миллиона редких чисел меньше 20%.
4. Малыш и Карлсон играют в такую игру: они берут шоколадку 1001*1001 и по очереди выкусывают из нее по клеточкам кусочки (не обязательно с краю): Карлсон - кусочки 2*2, Малыш - 1*1. Если не осталось ни одного кусочка 2*2, то все остальные кусочки съедает Малыш. Выигрывает тот, кто съест больше шоколада. Кто выигрывает при правильной игре, если первым ходит Малыш?
5. В треугольнике ABC на стороне AC отметили две различные точки K и N. Оказалось, что каждый из отрезков BK и BN разбивает треугольник ABC на два равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника ABC.
6. Несколько государственных служащих получили одинаковую зарплату. В течение дня после этого, пока никто из них еще не успел ничего потратить, время от времени кто-нибудь из них брал часть своих денег и раздавал поровну всем остальным. После нескольких таких операций у одного из служащих оказалось 24 копейки, а еще у одного - 17 копеек. Сколько было служащих?
7. Шахматная фигура "кузнечик" бьет прыжком через одну клетку в любом направлении (по горизонтали, вертикали или диагонали). Какое наибольшее количество кузнечиков, не бьющих друг друга, можно поставить на шахматную доску размером 8*8?
8. Калькулятор "Елочка" умеет выполнять две операции: вычитать из числа единицу или записывать цифры числа в обратном порядке, причем вторая операция разрешена только тогда, когда последняя цифра числа не равна нулю. За какое наименьшее число операций можно с помощью "Елочки" из числа 100 получить число 1?
1. В выпуклом 100-угольнике сумма углов в любых семи подряд идущих вершинах кратна семи градусам. Обязательно ли все углы этого 100-угольника кратны семи градусам?
2. Сумма чисел a, b и c равна единице. Найдите наибольшее значение выражения a(0,5 - b) + b(0,5 - c) + c(0,5 - a), если известно, что каждое из чисел a, b и c не меньше -1 и не больше 1.
3. С помощью равнобедренных ножниц можно произвольный многоугольник разрезать прямым разрезом на две части, одна из которых должна быть равнобедренным треугольником. Верно ли, что с помощью этих ножниц можно получить квадрат из любого треугольника?
4. Вася рисует на каждом ребре каждого из двух одинаковых кубов стрелки, после чего Петя совмещает кубы друг с другом. Если количество пар совмещенных ребер, на которых стрелки совпали, больше половины, выигрывает Вася, если меньше половины - Петя. Может ли кто-нибудь из них обеспечить себе выигрыш?
5. На шахматной доске стоят 15 фишек - по фишке в каждой клетке нижней строки и левого столбца. Каждым ходом передвигается одна из фишек на соседнюю (по вертикали или горизонтали) клетку. Запрещено ходить на клетки, где стоит или ранее побывала какая-нибудь фишка. Какое наибольшее количество фишек сможет через несколько ходов оказаться в клетках верхней строки и правого столбца?
6. Верно ли, что если в треугольнике равны отрезки всех трех серединных перпендикуляров, лежащие внутри треугольника, то этот треугольник - равносторонний?
7. На Уральский турнир приехало несколько школьников, каждый из которых имеет среди приехавших от двух до тридцати знакомых. Докажите, что организаторы могут расселить их в 61 комнату так, чтобы никакие двое знакомых не оказались в одной комнате и чтобы не было ни одного школьника, все знакомые которого живут в одной комнате.
8. Даны пять точек А(1/2; 1/3), В(1/3; 1/6), С(1/5; 1/5), D(1/7; 1/4), E(1/8; 1/7). Какое наибольшее количество этих точек может лежать на одном графике уравнения а/х + b/у = 1?
1. Решите уравнение НОК(m, n) - НОД(m, n) = mn/3 в натуральных числах m и n.
2. Два игрока по очереди закрашивают клетки доски 8*8. Если перед ходом игрока есть незакрашенные клетки, имеющие не менее двух закрашенных соседей (по стороне), то игрок своим ходом закрашивает их все. Если таких клеток нет, то он закрашивает одну любую незакрашенную клетку. Выигрывает тот, кто закрасит последнюю клетку. Кто выигрывает при правильной игре?
3. В классе 20 человек. Никакие три девочки не дружат с одинаковым числом мальчиков. Какое наибольшее количество девочек может быть в классе?
4. В некотором треугольнике высота, биссектриса и медиана, проведенные из различных вершин, пересекаются в одной точке. Верно ли, что этот треугольник - равносторонний, если известно, что биссектриса проведена из вершины угла в 60o?
5. Делится ли число 22...22(всего 1998 цифр '2') на 199819981998?
6. Окружность разбита на 12 равных частей. В каждой из точек деления записано по числу. Известно, что сумма трех чисел в вершинах любого равнобедренного треугольника - целое число. Верно ли, что сумма трех чисел в вершинах любого треугольника - тоже целое число?
7. На прямой отмечено несколько отрезков (может быть, пересекающихся). Левую половину каждого отрезка покрасили в красный цвет. Оказалось, что закрашенные точки образовали сплошной красный отрезок. Если бы вместо этого правую половину каждого из исходных отрезков покрасили в синий цвет, то синие точки образовали бы сплошной синий отрезок, длина которого была бы на 20 см короче длины красного. Докажите, что среди исходных отмеченных отрезков найдутся два отрезка, длины которых отличаются не менее, чем на 40 см.
8. В однокруговом футбольном турнире участвуют сорок команд. Могло ли после окончания турнира оказаться, что у каждой команды количество ничьих равно количеству поражений?
1. Из прямоугольника с целочисленными сторонами можно вырезать 360 квадратов 2*2. Докажите, что из него можно вырезать 200 прямоугольников 1*7.
2. Первый член последовательности равен 10. Каждый следующий член получается так: предыдущий член возводится в квадрат, а затем из него вычитается наибольшая степень двойки, меньшая полученного числа (например, 13 --> 132 - 27 = 41). Найдите цифру единиц 98-го члена.
3. Буратино купил в лавке бумажную курточку, расплатившись без сдачи монетами в 8 и 13 сольдо. Если бы эта куртка стоила на сольдо дороже, то он бы не смог расплатиться без сдачи только такими монетами. Какова наибольшая возможная цена курточки?
4. Найдите наименьшее натуральное число n, такое, что сумма цифр числа n равняется сумме цифр числа 11n.
5. По кругу расположены 1997 лампочек, некоторые из которых горят, а некоторые потушены. Каждые десять секунд состояние гирлянды меняется по следующему правилу. Каждая горящая лампочка гаснет, если среди четырех ближайших к ней (по две с каждой стороны) было больше двух потушенных. Каждая негорящая лампочка зажигается, если среди четырех ближайших к ней было больше двух горящих. Все остальные лампочки свое состояние не меняют. Докажите, что через некоторое время гирлянда перестанет "мигать".
6. Точка E - середина медианы AD треугольника ABC. Известно, что BE = CD, F - точка пересечения прямой CE и отрезка AB. Докажите, что FA = FE.
7. Даны два бака вместимостью по 10 л с раствором марганцовки 10%-ой и 15%-ой концентрации и сосуды вместимостью 3 л и 5 л. Можно ли с помощью этих сосудов получить 2 л 11%-ого раствора марганцовки?
8. На доске написано одиннадцать двоек. Разрешается стереть любые два числа и записать на доску их сумму или их произведение. Может ли после нескольких таких операций на доске остаться число 774?
1. Петя выписал три натуральных числа, сумма которых равна 180, и заметил, что все выписанные числа - двузначные или трехзначные, и в записи каждого использована одна и та же пара цифр. Найдите все такие тройки чисел.
2. Из натуральных чисел от 1 до 500 вычеркнули 70 чисел. Докажите, что среди оставшихся обязательно найдутся два числа, произведение которых делится на 35.
3. Число называется редким, если его можно представить в виде произведения какого-нибудь натурального числа на сумму цифр этого числа. Докажите, что среди натуральных чисел от единицы до миллиона редких чисел меньше 20%.
4. Малыш и Карлсон играют в такую игру: они берут шоколадку 1001*1001 и по очереди выкусывают из нее по клеточкам кусочки (не обязательно с краю): Карлсон - кусочки 2*2, Малыш - 1*1. Если не осталось ни одного кусочка 2*2, то все остальные кусочки съедает Малыш. Выигрывает тот, кто съест больше шоколада. Кто выигрывает при правильной игре, если первый ход делает Малыш?
5. В треугольнике ABC на стороне AC отметили две различные точки K и N. Оказалось, что каждый из отрезков BK и BN разбивает треугольник ABC на два равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника ABC.
6. Несколько государственных служащих получили одинаковую зарплату. В течение дня после этого, пока никто из них еще не успел ничего потратить, время от времени кто-нибудь из них брал часть своих денег и раздавал поровну всем остальным. После нескольких таких операций у одного из служащих оказалось 24 копейки, а еще у одного - 17 копеек. Сколько было служащих?
7. На каждой из черных клеток шахматной доски стоит по фишке. Докажите, что надо убрать не менее одиннадцати фишек, чтобы ладья могла пройти с любой белой клетки на любую другую белую клетку, не проходя через поля, занятые фишками.
8. Калькулятор "Елочка" умеет выполнять две операции: вычитать из числа единицу или записывать цифры числа в обратном порядке, причем вторая операция разрешена только тогда, когда последняя цифра числа не равна нулю. За какое наименьшее число операций можно с помощью "Елочки" из числа 100 получить число 1?
1. Троечник Федя выставляет по одной шашке на клетки первоначально пустой доски 10*10. Докажите, что обязательно наступит момент, когда одна из выставленных шашек сможет съесть другую.
2. Иванов, Петров и Сидоров баллотировались в мэры города Урюпинска. Выборы проходили в два тура. В первом туре Иванов набрал 40% от общего числа голосов, набранных Петровым и Сидоровым. Сидоров, набравший в первом туре наименьшее число голосов, во втором туре не участвовал. Известно, что более половины проголосовавших за Сидорова избирателей от участия во втором туре отказались, а все, проголосовавшие в первом туре за Петрова, во втором туре проголосовали за него вновь. Кто победил во втором туре?
3. Два равносторонних треугольника (синий с периметром 1997 см и красный с периметром 1998 см) наложили друг на друга так, что образовалась шестиугольная звезда, состоящая из шестиугольника и шести равносторонних треугольников. Найдите суммарную длину синих лучей этой звезды.
4. В клетчатом квадрате 1000*1000 проведены несколько прямых, параллельных сторонам. Образовавшиеся при этом прямоугольные части раскрашены в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Докажите, что количество чёрных прямоугольников чётно.
5. Имеется 30-значное число, в записи которого нет ни одного нуля. Докажите, что из него можно вычеркнуть несколько цифр так, чтобы оставшееся число делилось на 101.
6. Могут ли медиана, биссектриса и высота, проведенные из различных вершин некоторого треугольника, ограничивать равносторонний треугольник?
7. Существует ли натуральное число N, для которого из 199 утверждений "N делится на K", где K меняется от 1 до 199, ровно 98 ложных?
8. На встречу Нового года собрались тридцать друзей. Среди них ровно 26 Олегов. В полночь друзья рассядутся за круглым столом, и каждый загадает желание. Но исполнятся желания только у тех, кто сядет между двумя Олегами. Какое количество желаний может исполниться?
1. На складе стеклотары бывают банки краски емкостью 0.5, 0.7 и 1.0 литра. Известно, что в текущий момент там имеется 2600 банок общей емкостью 1998 литров. Докажите, что на складе есть хотя бы одна поллитровая банка краски.
2. Натуральные числа m и n таковы, что m3 делится на m + n. Докажите, что n3 также делится на m + n.
3. В классе 20 человек. Никакие две девочки не дружат с одинаковым числом мальчиков. Какое наибольшее количество девочек может быть в классе?
4. В некотором треугольнике высота, биссектриса и медиана, проведенные из различных вершин, пересекаются в одной точке. Верно ли, что этот треугольник - равносторонний, если известно, что биссектриса проведена из вершины угла в 60o?
5. Делится ли число 66...66(всего 1998 цифр '6') на 199819981998 ?
6. Окружность разбита на 12 равных частей. В каждой из точек деления записано по числу. Известно, что сумма трех чисел в вершинах любого равнобедренного треугольника - целое число. Верно ли, что сумма трех чисел в вершинах любого треугольника - тоже целое число?
7. На прямой отмечены два отрезка (может быть, пересекающихся). Левую половину каждого отрезка покрасили в красный цвет. Оказалось, что закрашенные точки образовали сплошной красный отрезок. Если бы вместо этого правую половину каждого из исходных отрезков покрасили в синий цвет, то синие точки образовали бы сплошной синий отрезок, длина которого была бы на 20 см короче длины красного. Докажите, что длины исходных отмеченных отрезков отличаются не менее, чем на 40 см.
8. В однокруговом футбольном турнире участвуют сорок команд. Могло ли после окончания турнира у каждой команды оказаться 13 выигрышей и 13 проигрышей?
1. Можно ли квадрат со стороной единица разбить на несколько прямоугольников, сумма периметров которых равна семи?
2. В шеренгу стоят семнадцать солдат. Известно, что у каждого из них (кроме крайних) левый сосед выше правого соседа. Докажите, что самый левый солдат выше самого правого.
3. Буратино купил в лавке бумажную курточку, расплатившись без сдачи монетами в 5 и 8 сольдо. Если бы эта куртка стоила на сольдо дороже, то он бы не смог расплатиться без сдачи только такими монетами. Какова наибольшая возможная цена курточки?
4. Найдите наименьшее натуральное число n, такое, что сумма цифр числа n равняется сумме цифр числа 11n.
5. Даны два бака вместимостью по 10 л с раствором марганцовки 10%-ой и 15%-ой концентрации и сосуды вместимостью 3 л, 4 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов и получить 1 л 12%-ого раствора марганцовки?
6. Точка E - середина медианы AD треугольника ABC. Известно, что BE = CD, F - точка пересечения прямой CE и отрезка AB. Докажите, что FA = FE.
7. Во фразе "Одиннадцатый Уральский турнир юных математиков" передвинем в каждом слове первую букву на последнее место: "диннадцатыйО ральскийУ урнирТ ныхЮ атематиковМ". Сделаем то же самое с полученным текстом, и так далее. Через какое число таких операций мы впервые вернемся к исходному тексту?
8. На доске написано одиннадцать двоек. Разрешается стереть любые два числа и записать на доску их сумму или их произведение. Может ли после нескольких таких операций на доске остаться число 1002?
1. Петя выписал три двузначных целых числа, сумма которых равна 180, и заметил, что в записи каждого из них использована одна и та же пара цифр. Найдите все такие тройки чисел.
2. Из натуральных чисел от 1 до 500 вычеркнули 70 чисел. Докажите, что среди оставшихся обязательно найдутся два числа, произведение которых делится на 35.
3. Число называется редким, если его можно представить в виде произведения какого-нибудь натурального числа на сумму цифр этого числа. Докажите, что среди натуральных чисел от единицы до миллиона редких чисел меньше 25%.
4. Малыш и Карлсон играют в такую игру: они берут шоколадку 1001*1001 и по очереди выкусывают из нее по клеточкам кусочки (не обязательно с краю): Карлсон - кусочки 2*1, Малыш - 1*1. Если не осталось ни одного кусочка 2*1, то все остальные кусочки съедает Малыш. Выигрывает тот, кто съест больше шоколада. Кто выигрывает при правильной игре, если первый ход делает Малыш?
5. В равнобедренном треугольнике ABC на основании AC отметили две различные точки K и N. Оказалось, что каждый из отрезков BK и BN разбивает треугольник ABC на два равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника ABC.
6. Можно ли разрезать квадрат на 1998 равных четырехугольников, не являющихся прямоугольниками?
7. На доске вначале написано число 23. Каждую минуту число, записанное на доске, стирают и вместо него записывают произведение его цифр, увеличенное на 12. Какое число окажется на доске через час?
8. Можно ли в клетках квадрата 10*10 так расставить натуральные числа, чтобы в любых пяти клетках, образующих прямоугольник 2*3 с вырезанной средней клеткой, сумма чисел была равна 105, а в любом прямоугольнике 1*2 сумма чисел была равна 40?
1. Троечник Федя выставляет по одной шашке на клетки первоначально пустой доски 10*10. Докажите, что обязательно наступит момент, когда одна из выставленных шашек сможет съесть другую.
2. Иванов, Петров и Сидоров баллотировались в мэры города Урюпинска. Выборы проходили в два тура. В первом туре Иванов набрал 40% от общего числа голосов, набранных Петровым и Сидоровым. Сидоров, набравший в первом туре наименьшее число голосов, во втором туре не участвовал. Известно, что более половины проголосовавших за Сидорова избирателей от участия во втором туре отказались, а все, проголосовавшие в первом туре за Петрова, во втором туре проголосовали за него вновь. Кто победил во втором туре?
3. Два равносторонних треугольника (синий с периметром 1997 см и красный с периметром 1998 см) наложили друг на друга так, что образовалась шестиугольная звезда, состоящая из шестиугольника и шести равносторонних треугольников. Найдите суммарную длину синих лучей этой звезды.
4. В клетчатом квадрате 1000*1000 проведены несколько прямых, параллельных сторонам. Образовавшиеся при этом прямоугольные части раскрашены в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Докажите, что количество чёрных прямоугольников чётно.
5. Имеется 30-значное число, в записи которого нет ни одного нуля. Докажите, что из него можно вычеркнуть несколько цифр так, чтобы оставшееся число делилось на 101.
6. Могут ли медиана, биссектриса и высота, проведенные из различных вершин некоторого треугольника, ограничивать равносторонний треугольник?
7. На гранях куба написано шесть различных целых чисел. Может ли оказаться, что для каждой пары соседних (по ребру) граней разность чисел на них - простое число?
8. На встречу Нового года собрались тридцать друзей. Среди них ровно 26 Олегов. В полночь друзья рассядутся за круглым столом, и каждый загадает желание. Но исполнятся желания только у тех, кто сядет между двумя Олегами. Какое количество желаний может исполниться?