XXVI ВСЕРОССИЙСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

Заключительный этап

1999/2000 учебный год

Казань, 12-18 апреля 2000 г.

Задачи пятого (финального) этапа XXVI Российской олимпиады школьников по математике. Задания подготовлены Методическим Советом Российской математической олимпиады школьников.

Первый день (14.04.2000)

9 класс

9.1 Различные числа a, b и с таковы, что уравнения
x²+ax+1=0 и x²+bx+c=0 имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения x²+x+a=0 и x²+cx+b=0. Найдите сумму a+b+c.
(Н. Агаханов)

9.2 Таня задумала натуральное число X<100, а Cаша пытается его угадать. Он выбирает пару натуральных чисел M и N, меньших 100, и задаёт вопрос: "Чему равен наибольший общий делитель X+M и N ?" Докажите, что Саша может угадать танино число, задав 7 таких вопросов.
(А. Голованов)

9.3 Пусть O - центр описанной окружность w остроугольного треугольника ABC. Окружность w₁ с центром K проходит через точки A, O, C и пересекает стороны AB и BC в точках M и N. Известно, что точки L и K симметричны относительно прямой NM. Докажите, что BL | AC.
(М. Сонкин)

9.4 В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы 3 дороги. Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3.
(Д. Карпов)

10 класс

10.1 Найдите сумму

[1/3] + [2/3] + [2²/3] + [2³/2] + ... + [2¹⁰⁰⁰/3] .

(А. Голованов)

10.2 Пусть -1<x₁<x₂<...<x_n<1 и

(x₁)¹³+(x₂)¹³+...+(x_n)¹³ = x₁+x₂+...+x_n .

Докажите, что если y₁<y₂<...<y_n, то

(x₁)¹³y₁+(x₂)¹³y₂+...+(x_n)¹³y_n < x₁y₁+x₂y₂+...+x_ny_n .

(О. Мусин)

10.3 В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC биссектриса острого угла между высотами AA₁ и CC₁ пересекает стороны AB и BC в точках P и Q соответственно. Биссектриса угла B пересекает отрезок, соединяющий ортоцентр треугольника ABC с серединой стороны AC, в точке R. Докажите что точки P, B, Q и R лежат на одной окружности.
(С. Берлов)

10.4 Имеются пять внешне одинаковых гирь с попарно различными массами. Разрешается выбрать любые три из них A, B и C и спросить, верно ли, что m(A)<m(B)<m(C). (Через m(x) обозначена масса гири x, при этом даётся ответ "Да" или "Нет".) Можно ли за девять вопросов гарантировано узнать, в каком порядке идут веса гирь?
(О. Подлипский)

11 класс

11.1 Найдите все функции f : R -> R, которые для всех x, y, z C R удовлетворяют неравенству

f(x+y) + f(y+z) + f(z+x) > 3f(x+2y+3z)

(Н. Агаханов, О. Подлипский)

11.2 Докажите, что можно разбить всё множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке a, b, c такой что a+99b=c нашлись два числа из одного подмножества.
(Д. Джукич, Ф. Петров, И. Богданов, С. Берлов)

11.3 На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника A₁B₁C₁D₁E₁ (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.

(В. Дольников, И. Богданов)

11.4 Дана последовательность неотрицательных целых чисел a₁, a₂, ..., a_n. Для любого k от 1 до n обозначим через m_k величину

a_k-l+1 + a_k-l+2 + ... + a_k

max

_l=1,2,...,k l

Докажите, что при любом a>0 число тех k, для которых m_k>a, меньше, чем (a₁+a₂+...+a_n)/a
(В. Дольников)

Второй день (15.04.2000)

9 класс

9.5 На доску последовательно выписываются числа a₁=1, a₂, a₃, ... по следующим правилам: a_n+1=a_n-2, если число a_n-2 - натуральное и ещё не выписано на доску, в противном случае a_n+1=a_n+3. Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.
(Н. Агаханов)

9.6 В некоторых клетках доски 2n*2n стоят чёрные и белые фишки. С доски сначала снимают все чёрные фишки, которые стоят в одной вертикали с какой-либо белой, а затем все белые фишки, стоящие в одной горизонтали с какой-либо из оставшихся чёрных. Докажите, что либо чёрныхЁ либо белых фишек на доске осталось не более n².
(С. Берлов)

9.7 На медиане CD треугольника ABC отмечена точка E. Окружность S₁, проходящая через E и касающаяся прямой AB в точке A, пересекает сторону AC в точке M. Окружность S₂, проходящая через Е и касающаяся прямой AB в точке B, пересекает сторону BC в точке N. Докажите, что описанная окружность треугольника CMN касается S₁ и S₂.
(М. Сонкин)

9.8 По окружности расставлено 100 натуральных чисел, взаимно простых в совокупности. Разрешается прибавлять к любому числу наибольший общий делитель его соседей. Докажите, что при помощи таких операций можно сделать все числа попарно взаимно простыми.
(С. Берлов)

10 класс

10.5 Пусть M - конечное множество чисел. Известно, что среди любых трёх его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит M. Какое наибольшее число элементов может быть в M?
(Е. Черепанов)

10.6 Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9. (Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, отличных от самого числа, например 6=1+2+3.)
(А. Храбров)

10.7 Даны две окружности, касающиеся внутренним образом точки N. Хорды BA и BC внешней окружности касаются внутренней в точках K и M соответственно. Пусть Q и P - середины дуг AB и BC, не содержащих точку N. Окружности, около треугольников BQK и BPM, пересекаются второй раз в точке B₁. Докажите, что BPB₁Q - параллелограмм.
(Т. Емельянов)

10.8 На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты k различных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть любые k квадратов различных цветов, то какие-нибудь два из них можно прибить к столу одним гвоздём. Докажите, что все квадраты некоторого цвета можно прибить к столу 2k-2 гвоздями.
(В. Дольников)

11 класс

11.5 Докажите неравенство

sinⁿ(2x) + (sinⁿx - cosⁿx)² < 1 .

(А. Храбров)

11.6 Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49. (Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, отличных от самого числа, например 6=1+2+3.)
(А. Храбров)

11.7 Четырёхугольник ABCD описан около окружности w. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность w₁ касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD, окружность w₂ касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K, L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности w лежат на одной прямой.
(П. Кожевников)

11.8 Клетки таблицы 100*100 окрашены в 4 цвета так, что в любой строке и в любом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета. Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета.
(С. Берлов)