Московский городской Дворец творчества детей и юношества
Московский центр непрерывного математического образовани
(осень 2000)
Дорогой друг! Приглашаем тебя принять участие в заочном конкурсе по математике и информатике. Участвовать в нём может любой ученик 6, 7 или 8 класса.
Задание состоит из 3 частей (итог подводится по всем решённым задачам):
Решения задач 1-й части следует отправить по почте не позднее 15 сентября 2000 г. по адресу:
Москва, 117978, улица Косыгина, дом 17, Московский городской дворец творчества детей и юношества, отдел техники, заочный конкурс, учени(к/ца) ... класса ... школы (фамилия, имя полностью).
На каждом листе работы просим указывать фамилию, имя, номер школы и класс. На письме должен быть указан обратный адрес, включая имя и фамилию. В письмо следует вложить незаклеенный конверт с написанным на нём своим адресом и марки, соответствующие почтовому тарифу на момент отправки письма. (В этом конверте будут посланы результаты проверки 1-й части, Ваша карточка участника и сроки отправки 2-й и 3-й части конкурсного задания.)
Решения задач 2-й части конкурса следует выслать не позднее 1 ноября 2000 г. В качестве адреса на конверте нужно указать:
Москва, 117978, улица Косыгина, дом 17, Московский городской дворец творчества детей и юношества, отдел техники, заочный конкурс, ... класс, задачи 6-15.
Вместо ... укажите 6, 7 или 8 - номер класса, в котором вы учитесь. На письме должен быть указан обратный адрес, включая имя и фамилию.
В письмо следует вложить заполненную карточку участника, которую Вы получите в первом письме, марки, соответствующие почтовому тарифу на момент отправки письма, и пустой незаклеенный конверт с написанным на нём своим адресом (В этом конверте Вам будет послано приглашение на разбор задач и результаты проверки.)
На каждом листе работы просим указывать фамилию, имя, номер школы и класс.
Решения задач 3-й части конкурса следует выслать не позднее 15 ноября 2000 г. В качестве адреса на конверте нужно указать:
Москва, 117978, улица Косыгина, дом 17, Московский городской дворец творчества детей и юношества, отдел техники, заочный конкурс, ... класс, задачи 16-25.
На письме должен быть указан обратный адрес, включая имя и фамилию. В письмо следует вложить конверт с написанным на нём своим адресом и марки. Этот второй конверт будет использован для того, чтобы послать Вам информацию о следующем заочном конкурсе.
Пожалуйста, перед отправкой письма проверьте ещё раз, правильно ли указана вся необходимая информация, перечтя внимательно наши инструкции - это облегчит нашу работу.
Пожалуйста, не отправляйте задачи разных частей задания в одном конверте, а также задачи одной части в разных конвертах.
Спасибо!
Справки по всем вопросам, связанным с конкурсом, - в МЦНМО по телефону 241-05-00.
1. Двузначное натуральное число в 5 раз больше суммы своих цифр. Что это за число?
2. Как от куска шнура длиной 2/3 метра отрезать ровно полметра, не имея измерительного инструмента?
3. Можно ли проехать 5000 км на четырехколёсной машине с одной запасной шиной, если ресурс каждой шины (без учёта замены) составляет 4200 км?
4. Известно, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел равно 3024. Найдите эти числа.
5. После семи стирок длина, ширина и высота куска хозяйственного мыла уменьшились вдвое. На сколько еще стирок хватит оставшегося куска мыла?
6. Сколько чисел среди 15, 16, 17, ..., 498, 499, 500 делятся на 7?
7. По кругу расположено 9 шестерёнок так, что первая сцеплена со второй, вторая с третьей, ..., девятая с первой. Могут ли эти шестерёнки вращаться?
8. Предполагалось, что среди школьников, идущих на экскурсию, девочки будут составлять 25% от числа мальчиков. Однако вместо одной девочки пришел мальчик, в результате чего число девочек стало составлять 20% от числа мальчиков. Сколько школьников участвовало в экскурсии?
9. Существует ли треугольник, у которого все стороны больше 1 метра, а площадь меньше 1 квадратного сантиметра?
10. Сколько делителей имеет число
N=210*315*520 ?
(Делители - целые положительные числа, на которые N делится без
остатка, включая единицу и само N.)
11. Что больше: 12345678/12345679 или 1234578/1234579? Дайте обоснованный ответ.
12. Есть ровно 7 способов заплатить A рублей (без сдачи), имея только купюры в 3 и 5 рублей. Чему может быть равно A? (Укажите все варианты.)
13. По углам квадратного бассейна растут 4 дерева. Можно ли увеличить бассейн в два раза (по площади), оставив его квадратом и не трогая деревья? (Деревья можно считать точками.)
14. В таблице 5*5 стоят целые числа. Разрешается одновременно изменить знак у всех чисел одного столбца или у всех чисел одной строки. Докажите, что, повторяя эту операцию, можно добиться того, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце была неотрицательна.
15. На кольцевой дороге проводится мотоциклетная эстафета (каждый следующий этап начинается в том месте, где закончился предыдущий). Длина этапа 75 км, длина дороги 330 км. Старт и финиш находятся в одном и том же месте. Какое минимальное число этапов может быть в эстафете?
16. Число ababab (a, b - любые цифры) всегда
делится на 7. Почему?
(Примечание: цифры в числе ababab стоят рядом, а не
перемножаются. Например, если a=2 и b=7, то это будет число
272727. Стандартное математическое обозначение для такой записи - черта сверху
над всем числом - в HTML сделать трудно.)
17. Являются ли старейший художник среди поэтов и старейший поэт среди художников одним и тем же человеком? Являются ли лучший поэт среди художников и лучший художник среди поэтов одним и тем же человеком?
18. Имеется 10 мешков с монетами, в 9 из них монеты настоящие и весят 10 граммов, а в одном - фальшивые и весят 11 граммов. Есть пружинные весы, показывающие общий вес положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания найти, в каком мешке фальшивые монеты?
19. (Продолжение) Пусть теперь фальшивые (11-граммовые) монеты могут быть в нескольких мешках. Можно ли с помощью одного взвешивания выяснить, в каких именно мешках фальшивые монеты?
20. На доске 7*7 стоит 49 пешек - на каждой клетке по одной пешке. Можно ли передвинуть каждую из них на соседнюю клетку (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону) так, чтобы по-прежнему на каждой клетке стояла ровно одна пешка?
21. Бросают два игральных кубика (цифры на гранях от 1 до 6). Какая сумма чисел на их верхних гранях наиболее вероятна (выпадает чаще всего)?
22. Фигурой нельзя накрыть полукруг, но двумя такими же фигурами можно накрыть круг того же радиуса. Может ли так быть?
23. Делится ли число
123456789101112131415...9596979899100
(подряд записаны натуральные числа от 1 до 100) на 18?
24. Купец нанял работника на год за 12 рублей и кафтан. Работник ушёл через 9 месяцев, взяв кафтан и 8 рублей. Сколько рублей стоит кафтан?
25. Докажите, что из любых 11 бесконечных десятичных дробей можно выбрать две такие, которые совпадают в бесконечном числе разрядов.